Matematika

Témata profilové části maturitní zkoušky z matematiky.

Výroky, množiny

• jednoduché výroky, pravdivostní hodnoty výroků, negace
• operace s výroky, složené výroky, tabulky pravdivostních hodnot
• důkazy dělitelnosti v množině přirozených čísel
• množina, způsoby určení množin, podmnožina, rovnost množin, prázdná množina
• průnik, sjednocení, rozdíl množin, doplněk množiny, intervaly
• geometrické modely množin, diagramy
• řešení příkladů a úloh

Lineární rovnice a jejich soustavy, parametr, řešení s diskusí

• pojem lineární rovnice a soustavy lineárních rovnic
• lineární rovnice a soustavy lineárních rovnic s parametrem
• definiční obor parametru, definiční obor rovnice
• rovnice s absolutní hodnotou
• řešení příkladů a úloh

Kvadratické rovnice, vlastnosti kořenů, rovnice s parametrem

• kvadratické funkce, kvadratické rovnice, druhy kvadratických rovnic
• řešení kvadratické rovnice v R a C
• vztahy kořenů a koeficientů normované kvadratické rovnice
• kvadratická rovnice s parametrem
• soustavy lineární a kvadratické rovnice, soustava dvou kvadratických rovnic
• řešení příkladů a úloh

Lineární a kvadratické nerovnice, nerovnice s absolutní hodnotou

• ekvivalentní úpravy nerovnic, absolutní hodnota čísla
• řešení nerovnic, řešení pomocí vhodných intervalů, nulové body
• srovnání grafického řešení nerovnice o jedné neznámé s řešením početním
• grafické znázornění množiny kořenů
• řešení příkladů a úloh

Geometrické úlohy řešené pomocí množin bodů daných vlastností

• obvodový a středový úhel
• vlastnosti oblouku kružnice, ze kterého je vidět danou úsečku pod daným úhlem
• přehled dalších frekventovaných množin bodů dané vlastnosti
• aplikace na příkladech a úlohách

Geometrické úlohy řešené pomocí shodných zobrazení v rovině

• přehled shodných zobrazení v rovině
• samodružný bod a zobrazení podle počtu samodružných bodů
• vlastnosti shodných zobrazení
• řešení úloh

Geometrické úlohy řešené pomocí podobných zobrazení, stejnolehlost

• podobná zobrazení, stejnolehlost
• vlastnosti stejnolehlých útvarů, přímek, úhlů, úseček
• stejnolehlost dvou kružnic
• užití stejnolehlosti při řešení úloh

Pythagorova a Eukleidovy věty. Konstrukce n-úhelníků a kružnic

• vlastnosti trojúhelníků a čtyřúhelníků
• věty Eukleidovy, věta Pythagorova
• věty o shodnosti a podobnosti trojúhelníků
• konvexní n-úhelníky a jejich vlastnosti
• kružnice a její tečny, vzájemná poloha dvou kružnic
• konstrukce algebraického výrazu
• řešení příkladů a úloh

Funkce

• pojem funkce, vlastnosti funkcí, grafy funkcí
• funkce lineární, kvadratická, lineární lomená, polynomická a racionální
• určení základních prvků grafu úpravou rovnice (event. s využitím derivací)
• využití grafů funkcí při řešení rovnic a nerovnic
• řešení příkladů a úloh

Mocninná a odmocninná funkce, mocniny a odmocniny

• funkce a inverzní funkce, vlastnosti grafů
• mocninná a odmocninná funkce, grafy, definiční obory, obory funkčních hodnot
• mocniny a odmocniny, pravidla pro počítání s mocninami a odmocninami
• úpravy výrazů s mocninami a odmocninami
• řešení iracionálních rovnic, ekvivalence a neekvivalence úprav rovnic
• význam definičního oboru rovnice a zkoušky pro řešení rovnice
• řešení příkladů a úloh

Exponenciální a logaritmické funkce, logaritmus a jeho vlastnosti

• exponenciální funkce, druhy exponenciálních funkcí podle základu, grafy
• pojem inverzní funkce, vlastnosti, grafy, logaritmické funkce
• logaritmus čísla, základní věty o logaritmech, dekadický a přirozený logaritmus
• exponenciální a logaritmické rovnice
• řešení příkladů a úloh

Goniometrické funkce obecného úhlu, definice, grafy, výpočty

• úhel, velikost úhlu, jednotky, periodicita funkce
• goniometrické funkce úhlu
• funkce sin x, cos x, tg x, cotg x obecného úhlu, jednotková kružnice, grafy
• vlastnosti goniometrických funkcí, vztahy pro goniometrické funkce
• řešení příkladů a úloh

Goniometrické rovnice

• úpravy goniometrických výrazů
• užití goniometrických vzorců, odvození některých vztahů
• řešení goniometrických rovnic
• řešení příkladů a úloh

Trigonometrické řešení pravoúhlého a obecného trojúhelníku

• hlavní prostředky pro řešení pravoúhlého a obecného trojúhelníku
• věta sinová, kosinová
• použití goniometrických funkcí při řešení úloh o trojúhelnících
• řešení příkladů a úloh

Polohové a metrické vlastnosti geometrických útvarů v prostoru

• základní geometrické útvary v prostoru a základní tělesa v prostoru
• polohové a metrické vlastnosti základních útvarů v rovině a prostoru
• vzájemná poloha tří rovin v prostoru
• řezy hranolů a jehlanů
• řešení příkladů a úloh

Objem a povrch geometrických těles

• objem a povrch hranolu, jehlanu
• objem a povrch válce, kužele
• objem a povrch koule, objem a povrch částí koule
• řešení příkladů a úloh

Variace a permutace bez opakování a s opakováním

• pojem konečné množiny, počet n prvků konečné množiny, k-prvková podmnožina
• význam pořadí prvků a opakování prvků
• variace bez opakování, faktoriál čísla, permutace bez opakování
• variace a permutace s opakováním
• řešení příkladů a úloh

Kombinace bez opakování a s opakováním

• kombinace bez opakování a s opakováním
• vzorce pro počet kombinací bez opakování a s opakováním
• kombinační čísla, vlastnosti, Pascalův trojúhelník, binomická věta
• řešení příkladů a úloh

Vektory v analytické geometrii, skalární a vektorový součin

• vektory, operace s vektory, skalární a vektorový součin vektorů, smíšený součin
• polohové a metrické vlastnosti analyticky
• odchylky, obsahy a objemy útvarů pomocí vektorů
• řešení příkladů a úloh

Analytická geometrie lineárních útvarů

• analytické určení polohy bodu
• analytické vyjádření přímky, roviny a jejich částí
• vzájemná poloha přímek v rovině, přímek a rovin v prostoru
• vzdálenost přímek a rovin
• řešení příkladů a úloh

Kružnice, hyperbola, vzájemná poloha s přímkou

• kružnice, hyperbola, analytické vyjádření (rovnice) kružnice a hyperboly
• určení základních prvků kružnice a hyperboly
• vzájemná poloha přímky a kružnice, přímky a hyperboly
• řešení příkladů a úloh

Elipsa, parabola, vzájemná poloha s přímkou

• elipsa, parabola, analytické vyjádření (rovnice) elipsy
• určení základních prvků elipsy a paraboly
• vzájemná poloha přímky a elipsy, přímky a paraboly
• řešení příkladů a úloh

Pravděpodobnost

• definice pravděpodobnosti, jev jistý, jev nemožný
• pravděpodobnost disjunktních jevů, nezávislých jevů
• Bernoulliovo schéma
• řešení příkladů a úloh

Komplexní čísla

• přehled číselných oborů, zavedení oboru komplexních čísel C
• tvary komplexních čísel, převody tvarů, Moivreova věta
• geometrické modelování komplexních čísel v Gaussově rovině
• rovnice v oboru komplexních čísel
• řešení příkladů a úloh

Rovnice v oboru komplexních čísel

• kvadratické rovnice v R i v C
• binomické rovnice
• algebraické a goniometrické řešení binomických rovnic
• řešení příkladů a úloh

Aritmetická posloupnost, úplná matematická indukce

• pojem funkce, pojem posloupnosti, způsoby určování posloupností
• vlastnosti posloupností, grafy posloupností, limity posloupností
• aritmetická posloupnost, základní věty, užití
• ověřování pravdivostní hodnoty výroků pomocí matematické indukce
• řešení příkladů a úloh

Geometrická posloupnost, nekonečná geometrická řada

• geometrická posloupnost, rekurentní vztah, vztah pro n-tý člen
• vztah pro součet n členů posloupnosti
• konvergence a divergence posloupnosti, podmínka konvergence
• pojem řada, nekonečná řada, nekonečná geometrická řad
• součet nekonečné geometrické řady
• základy finanční matematiky
• řešení příkladů a úloh

Derivace funkce, analýza funkce pomocí derivací

• funkce, limita a spojitost funkcí
• derivace funkce, technika derivování, význam derivace funkce
• vyšetřování funkcí pomocí první a druhé derivace
• úlohy na extrémy funkcí
• řešení příkladů a úloh

Neurčitý a určitý integrál

• pojem primitivní funkce a neurčitého integrálu, vlastnosti
• přehled primitivních funkcí k základním funkcím
• základní integrační metody, metody integrace substitucí a integrace per partes
• určitý integrál, věta Newton-Leibnitzova, užití
• řešení příkladů a úloh

Aplikace diferenciálního a integrálního počtu

• úlohy na extrémy funkcí
• obsah rovinného obrazce
• objem rotačního tělesa
• řešení příkladů a úloh